レンタルサーバーでサイト運営する場合、サーバーへのアクセス権限をユーザーが持つことになるため、サーバーにあるデータは基本的にパソコンにバックアップすることができます(あくまでもアクセスできる範囲内にはなります)。
方法としてはFTPツールを使ってサーバーにアクセスし、そのままのデータをパソコンにコピーすればOKです。もちろんそのままでは使えないデータも含まれていますが、写真などのデータは確実に残すことができると思います。
また、データベースにアクセスすることができる仕様になっていれば、アクセス方法や操作が複雑にはなりますが、データベースにある情報(ブログシステムは基本的にデータベースを使用します)をバックアップすることもできます。
<サービス終了の憂き目にもあわない>
バックアップとは少し違いますが、レンタルサーバーを借りた場合は契約期間は動作が保証されているため、急なサービス終了ですべてのデータがなくなるということもありません。
もちろん、レンタルサーバー自体がサービス終了してしまうことはないとは言えませんが、フリーブログよりも可能性は圧倒的に低いとは思います。